Введение в COMSOL Multiphysics. Красников Г.Е., Нагорнов О., Старостин Н.В. Моделирование физических процессов с использованием пакета Comsol Multiphysics

Успешные инженерные расчеты обычно основаны на экспериментально подтвержденных моделях, которые могут заменить в известной степени и физические эксперименты, и прототипирование, и позволяют лучше понять разрабатываемую конструкцию или изучаемый процесс. По сравнению с проведением физических экспериментов и испытанием прототипов моделирование позволяет быстрее, эффективнее и точнее оптимизировать процессы и устройства.

Пользователи COMSOL Multiphysics ® свободны от жестких ограничений, которые обычно свойственны пакетам для моделирования, и могут управлять всеми аспектами модели. Вы можете творчески подходить к моделированию и решать задачи, сложные или невозможные при обычном подходе, сочетая произвольное число физических явлений и задавая пользовательские описания физических явлений, уравнений и выражений через графический пользовательских интерфейс (GUI).

Точные мультифизические модели учитывают широкий диапазон рабочих условий и большой набор физических явлений. Таким образом, моделирование помогает понимать, проектировать и оптимизировать процессы и устройства с учетом реальных условий их работы.

Последовательный рабочий процесс моделирования

Моделирование в COMSOL Multiphysics ® позволяет исследовать в одной программной среде явления электромагнетизма, механики конструкций, акустики, гидродинамики, теплопередачи и химические реакции, а также любые другие физические явления, которые можно описать системами дифференциальных уравнений в частных производных. Вы можете сочетать в одной модели все эти физические явления. Графический пользовательский интерфейс COMSOL Desktop ® предоставляет доступ к полноценной интегрированной программной среде для моделирования. Какие бы устройства и процессы вы ни изучали, процесс моделирования будет логичным и последовательным.

Геометрическое моделирование и взаимодействие со сторонними CAD-пакетами

Операции, последовательности и выборки

Базовый пакет COMSOL Multiphysics ® содержит инструменты геометрического моделирования для создания элементов геометрии на основе твердых тел, поверхностей, кривых и булевых операций. Итоговая геометрия определяется последовательностью операций, каждая из которых может получать входные параметры, что облегчает редактирование и параметрические исследования мультифизических моделей. Связь между определением геометрии и настройками физики двусторонняя - любое изменение геометрии автоматически приводит к соответствующим изменениям в связанных настройках модели.

Любые геометрические объекты можно объединять в выборки (selections) для дальнейшего использования в определении физики и граничных условий, построении сеток и графиков. Кроме того, последовательность операций можно использовать, чтобы создать параметризованную геометрическую заготовку (geometry part), которую потом можно сохранить в Библиотеке частей и повторно использовать во многих моделях.

Импорт, обработка, дефичеринг и виртуальные операции

Импорт всех стандартных CAD и ECAD файлов в COMSOL Multiphysics ® поддерживается при наличии модулей Импорт данных из CAD и Импорт данных из ECAD соответственно. Модуль Проектирование расширяет набор геометрических операций, доступных в COMSOL Multiphysics ® . Модули Импорт данных из CAD и Проектирование предоставляют возможность исправлять геометрии и удалять некоторые лишние детали (операции Defeaturing и Repair). Модели на основе поверхностных сеток, например, формат STL, можно импортировать и преобразовывать в геометрические объекты с помощью базовой платформы COMSOL Multiphysics ® . Операции импорта работают так же, как и все остальные геометрические операции - в них можно использовать выборки и также ассоциативность при параметрических и оптимизационных исследованиях.

В качестве альтернативы операциям Defeaturing и Repair программный пакет COMSOL ® включает также так называемые виртуальные операции, которые позволяют исключить влияние ряда геометрических артефактов на конечно-элементную сетку, в частности, вытянутых и узких границ, которые понижают точность моделирования. В отличие от удаления деталей при дефичеринге, виртуальные операции не изменяют кривизну или точность геометрии, но позволяют получить более чистую сетку.

Список функций геометрического моделирования

Примитивы
- Блок, сфера, конус, тор, эллипсоид, цилиндр, спираль, пирамида, шестигранник
- Параметрическая кривая, параметрическая поверхность, многоугольник, полигоны Безье, интерполяционная кривая, точка
Операции Extrude (Вытяжка), Revolve (Разворот), Sweep и Loft (создать тело по траектории или по сечениям 1
Булевы операции: объединение, пересечение, разность и разделение
Трансформации: создание массива, копирование, отражение, перемещение, вращение и масштабирование
Преобразования:
- Преобразовать в замкнутое объемное тело, поверхность, кривую
- Midsurface (Средняя поверхность) 1 , Thicken (Утолщение) 1 , Split (разделение на составляющие)
Chamfer (Скос) и Fillet (Cкругление) 2
Виртуальные геометрические операции
- Remove details (Автоматическое применение виртуальных операций)
- Игнорировать: вершины, ребра и границы
- Сформировать совокупный объект: из ребер, границ или областей
- Свернуть ребро или границу
- Объединить вершины или ребра
- Mesh control (Контроль сетки): вершины, ребра, границы, области
Гибридное моделирование: твердые тела, поверхности, кривые и точки
Рабочие плоскости (Work Plane) с двухмерным геометрическим моделированием
Импорт из CAD и двусторонняя интеграции с помощью модулей расширения Импорт данных из CAD, Проектирование и продуктов группы LiveLink™
Исправление и удаление деталей из CAD-моделей с помощью модулей расширения Импорт данных из CAD, Проектирование и продуктов группы LiveLink™
- Cap faces (Закрыть грань), Delete (Удаление)
- Скругление, Избавление от коротких ребер, узких граней, границ и выступов
- Detach faces (Выделение домена из границ), Knit to solid, Repair (Избавление от зазоров, Обработка и исправление геометрии)

1 Требует наличия модуля Проектирование

2 Данные операции в 3D требуют наличия модуля Проектирование

Эта рама велосипеда была спроектирована в программном пакете SOLIDWORKS ® , и может быть в несколько кликов импортирована в COMSOL Multiphysics ® . Можно также импортировать геометрические модели из других сторонних CAD-пакетов или создавать их с помощью встроенных геометрических инструментов COMSOL Multiphysics ® .

Инструменты COMSOL Multiphysics ® позволяют изменять и исправлять сторонние CAD-геометрии (для соответствия КЭ-расчету), как в данном случае в моделе рамы велосипеда. При желании вы могли бы создать эту геометрию с нуля в COMSOL Multiphysics ® .

конечно-элементная сетка для проекта рамы велосипеда. Теперь она готова к расчету в пакете COMSOL Multiphysics ® .

В COMSOL Multiphysics ® был выполнен механический расчет модели рамы велосипеда. Анализ результатов может подсказать, какие изменения внести в конструкцию рамы в стороннем CAD-пакете для дальнейшей работы.

Готовые предустановленные интерфейсы и функции для физического моделирования

Программный пакет COMSOL ® содержит готовые физические интерфейсы для моделирования самых разных физических явлений, в том числе распространенных междисциплинарных мультифизических взаимодействий. Физические интерфейсы - это специализированные пользовательские интерфейсы для отдельной инженерной или исследовательской области, которые позволяют досконально управлять моделированием исследуемого физического явления или явлений - от задания исходных параметров модели и дискретизации до анализа результатов.

После выбора физического интерфейса программный пакет предлагает выбрать один из типов исследований, например, с использованием нестационарного или стационарного решателя. Программа также автоматически подбирает для математической модели подходящую численную дискретизацию, конфигурацию решателя и настройки визуализации и постобработки, подходящие для исследуемого физического явления. Физические интерфейсы можно свободно сочетать, чтобы описывать процессы, включающие несколько явлений.

Платформа COMSOL Multiphysics ® включает в себя большой набор базовых физических интерфейсов, например, интерфейсы для описания механики твердых тел, акустики, гидродинамики, теплопередачи, переноса химических веществ и электромагнетизма. Расширяя базовый пакет дополнительными модулями COMSOL ® , вы получаете набор специализированных интерфейсов для моделирования частных инженерных задач.

Список доступных физических интерфейсов и представлений материальных свойств

Физические интерфейсы

Electric currents (Электрические токи)
Electrostatics (Электростатика)
Heat transfer in solids and fluids (Теплопередача в твердых телах и текучих средах)
Joule heating (Джоулев нагрев)
Laminar flow (Ламинарный поток)
Pressure acoustics (Скалярная акустика)
Solid mechanics (Механика твердого тела)
Transport of diluted species (Перенос растворенных веществ)
Magnetic Fields, 2D (Магнитные поля, в 2D)
Дополнительные специализированные физические интерфейсы содержатся в модулях расширения

Материалы

Изотропные и анизотропные материалы
Неоднородные материалы
Материалы с пространственно-неоднородными свойствами
Материалы со свойствами, изменяющимися во времени
Материалы с нелинейными свойствами, зависящими от какой-либо физической величины

Модель термопривода в COMSOL Multiphysics ® . Ветвь Heat Transfer (Теплопередача) раскрыта и показывает все соответствующие физические интерфейсы. Для этого примера активированы все модули расширения, поэтому доступно для выбора множество физических интерфейсов.

Прозрачное и гибкое моделирование на основе пользовательских уравнений

Программный пакет для научных и инженерных исследований и инноваций должен быть не просто средой для моделирования с предопределенным и ограниченным набором возможностей. Он должен предоставлять пользователям интерфейсы для создания и настройки описаний собственных моделей на основе математических уравнений. Пакет COMSOL Multiphysics ® обладает такой гибкостью - он содержит интерпретатор уравнений, обрабатывающий выражения, уравнения и другие математические описания перед созданием численной модели. Вы можете добавлять и настраивать выражения в физических интерфейсах, легко связывая их друг с другом для моделирования мультифизических явлений.

Доступна и более продвинутая кастомизация. Возможности индивидуальной настройки с помощью Построителя физических интерфейсов (Physics Builder) позволяют использовать собственные уравнения для создания новых физических интерфейсов, которые затем можно будет легко включить в будущие модели или предоставить коллегам.

Список доступных функций при использовании моделирования на основе пользовательских уравнений (equation-based modeling)

Дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) в слабой форме
Произвольные Лагранж - Эйлеровы методы (ALE) для задач c деформированной геометрией и подвижными сетками
Алгебраические уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE)
Дифференциальные алгебраические уравнения (DAE)
Анализ чувствительности (для оптимизации требуется дополнительный модуль Оптимизация)
Вычисление криволинейных координат

Модель волнового процесса в оптическом волокне на основе уравнения Кортевега - де Фриза. Дифференциальные уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения можно задавать в программном пакете COMSOL Multiphysics ® в коэффициентной или математической матричной форме.

Автоматизированное и ручное построение сетки

Для дискретизации модели и построения сетки программный пакет COMSOL Multiphysics ® использует различные численные методики и техники, зависящие от исследуемого в модели типа физики или сочетания физических явлений. Наиболее часто используемые методы дискретизации основаны на методе конечных элементов (полный список методов приведен в разделе «Решатели» на этой странице). Соответственно, алгоритм построения сетки общего назначения создает сетку с элементами того типа, который подходит для этого численного метода. Например, применяемый по умолчанию алгоритм может использовать произвольную тетраэдрическую сетку или сочетать ее с методом построения погранслойных сеток, комбинируя элементы различных типов и обеспечивая более быстрые и точные расчеты.

Операции измельчения сетки (mesh refinement), повторного построения или адаптивного построения сетки могут быть выполнены в процессе решения или специального этапа исследования для сетки любого типа.

Список доступных опций при построении сетки

Произвольная сетка на основе тетраэдров
Сетка протяжкой (Swept) на основе призматических и гексаэдрических элементов
Погранслойная сетка
Тетраэдрические, призматические, пирамидальные и гексаэдрические объемные элементы
Произвольная треугольная сетка для трехмерных поверхностей и двухмерных моделей

Свободная четырехугольная сетка и структурная 2d сетка (типа Mapped) для трехмерных поверхностей и двухмерных моделей
Операция копирования сетки
Виртуальные геометрические операции
Разбиение сеток на области, границы и ребра
Импорт сеток, созданных в другом программном обеспечении

Построенная в автоматическом режиме неструктурированная тетраэдральная сетка для геометрии обода колеса.

Построенная в полуавтоматическом режиме неструктурированная сетка с погранслоями для геометрии микросмесителя.

Сетка, созданная в ручном режиме, для модели электронного компонента на печатной плате. Конечно-элементное разбиение сочетает в себе тетраэдрическую сетку, треугольную сетку на поверхности и сетку, построенную протяжкой в объём.

Поверхностная сетка модели позвонка была сохранена в формате STL, импортирована в COMSOL Multiphysics ® и преобразована в геометрический объект. На нее была наложена автоматизированная неструктурированная сетка. Геометрия в формате STL предоставлена Марком Йоменом (Mark Yeoman) из компании Continuum Blue, Великобритания.

Исследования и их последовательности, параметрические расчеты и оптимизация

Типы исследований

После выбора физического интерфейса COMSOL Multiphysics ® предлагает несколько различных типов исследований (или анализа). Например, при исследовании механики твердого тела программный пакет предлагает нестационарные исследования, стационарные исследования и исследования на собственные частоты. Для задач вычислительной гидродинамики будут предложены только нестационарные и стационарные исследования. Вы можете свободно выбирать и другие типы исследований для проводимого вами расчёта. Последовательности этапов исследования определяют процесс решения и позволяют выбирать переменные модели, которые необходимо рассчитать на каждом этапе. Решения с любых предыдущих этапов исследования можно использовать как входные данные для следующих этапов.

Параметрический анализ, оптимизация и оценка

Для любого этапа исследования можно запустить параметрический расчет (sweep), который может включать один или несколько параметров модели, включая геометрические размеры или настройки в граничных условиях. Можно выполнять параметричекие свипы по различным материалам и их свойств,ам а также по перечню заданных функций.

Модель спирального статического смесителя была создана с помощью Построителя моделей COMSOL Multiphysics ® .

COMSOL Multiphysics - программа для конечно-элементных расчётов сложных научно-технических задач. Пакет COMSOL Multiphysics позволяет моделировать практически все физические процессы, которые описываются частными дифференциальными уравнениями. Программа содержит различные решатели, которые помогут быстро справиться даже с самыми сложными задачами, а простая структура приложения обеспечивает простоту и гибкость использования. Решение любой задачи базируется на численном решении уравнений в частных производных методом конечных элементов. Спектр задач, которые поддаются моделированию в программе чрезвычайно широк. Набор специальных модулей в программе охватывает практически все сферы приложений уравнений в частных производных. Пакет COMSOL Multiphysics установлен на компьютерах в аудитории В-109.

Примеры решения задач

Ниже приведено описание использования COMSOL Multiphysics на стандартных примерах, поставляемых вместе с этим пакетом.

Пример 1

heat_transient_axi.mph
В этом пример рассматривается расчет процесса теплопередачи. Постановка задачи следующая: имеется цилиндр с заданой теплопроводностью и начальной температурой 0С. Все внешние поверхности цилиндра поддерживается при температуре 1000С. Необходимо рассчитать зависимость температуры тела от времени.
Чтобы решить такую задачу, при создании нового файла в COMSOL нужно выбрать размерность 2D axisymmetric, далее модель Heat Transfer In Solids и Time Dependent, так-как задача не стационарная. Когда новый проект создан - в окне Model Builder - мы видим все компоненты, присутствующие в нашем проекте.

Для начала нужно создать цилиндр, для этого в Model Builder нужно открыть вкладку Model, сделать правый клик на Geometry и выбрать прямоугольник, так как мы работаем с радиальной симметрией. После того как размер и расположение прямоугольника задано, можно нажать кнопку Build, и тогда прямоугольник отобразится в окошке с графикой.

Теперь нужно задать свойства материала. Для этого сделайте правый клик по Materials и выберите Material. Будет создан новый материал, здесь нужно указать, какие элементы геометрии изготовлены из этого материала (по умолчанию уже будет выбран цилиндр) и необходимые физические параметры материала (плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность).

Следующий шаг - задать начальные и граничные условия. Эти параметры указываются во вкладке Heat Transfer In Solids. В созданом по умолчанию параметре Initial Values задаются начальные условия для температуры тела. Чтобы добавить граничные условия, в нашем случае нужно сделать правый клик по Heat Transfer In Solids и выбрать Temperature. Для этого параметра нужно выбрать грани - All boundaries, и задать температуру границ.

Теперь можно приступить к вычислениям. Откройте вкладку Study-Step 1. Здесь можно указать интересующий нас временной интервал и шаг по времени. После этого щелкниет правой кнопкой мыши по Study и выбирете Compute.

Во вкладке Results можно настроить параметры отображения результатов, добавить графики с интересующими плоскостями, срезами, изотермальными линиями итд.
Этот пример выполнен в файле heat_transient_axi.mph, входящем в комплект COMSOL.
Как видно на этом примере, использование COMSOL во многом интуитивно. Следующие примеры будут разабраны менее подробно.

Пример 2

capacitor_tunable.mph
Этот пример - рассчет электростатического поля создаваемого обкладками конденсатора - трехмерная стационарная задача.
Заданая геометрия - 2 обкладки сложной формы, составленные из блоков прямоугольной формы, которые помещены в блок из диэлектрика. Для диэлектрика нужно создать новый материал и задать его диэлектрическую проницаемость.

В параметрах задачи Electrostatics задаются потенциалы обкладок. Одна обкладка назначается Ground, а другая - Terminal с потенциалом 1 вольт.

После того, как задана геометрия и потенциалы обкладок, можно запускать вычисления.
Для такой задачи интересным может быть потенциал на сечениях. Чтобы построить такой график, нужно сделать правый клик по Results и выбрать 3D Plot Group, затем правый клик по созданной группе и выбрать Slice. В параметрах созданного Slice можно настроить количество и местоположение сечений.

Пример 3

Heat_Sink.mph
В этом примере описан процесс охлаждения радиатора потоком воздуха. Радиатор закреплен на источнике тепла (воспроизводится модель охлаждения микропроцессора). Эта модель включает в себя одновременно расчет теплопередачи внутри радиатора, конфигурации потока воздуха и теплообмен радиатора с воздухом. Эта задача решается как стационарная.
На вкладке Global Definitions-Parametres заданы некоторые глобальные константы.

Геометрия включает в себя воздушную трубу, радиатор, тепловыделяющий элемент. Всего используется 4 материала: воздух, аллюминий (радиатор), кварцевое стекло (процессор) и термопаста (тонкая прослойка между процессором и радиатором).
Самая важная часть - настройка модуля Conjugate Heat Transfer. Помимо обязательных настроек начальных и граничных условий, были добавлены следующие элементы:
1 Fluid: это условие превращает наш воздух в несжимаемую жидкость, в которой также отсутствует нагрев за счет вязкости. Это существенно облегчит вычисления.
2 Heat Source: источник тепла - процессор.
3 Inlet: поступающий в трубу воздух.
4 Outlet: исходящий из трубы воздух.
5 Temperature: температура поступающего воздуха.
6 Outflow: специальное граничное условие на гарани через которую исходит воздух. Outflow используется когда процесс передача тепла происходит преимущественно из-за конвекции.
7 Thin Thermally Resistive Layer: тонкий слой с заданой теплопроводностью - термопаста.

После вычислений в этом примере строится график, на котором видно температуру и добавлены стрелочки обозначающие скорость и направление протекающего воздуха.

М.: НИЯУ МИФИ, 2012. — 184 с.Описание:
Предназначено для изучения среды математического моделирования Comsol Multiphysics. В пособии подробно рассматриваются ключевые методы работы с данной системой и разбираются конкретные типовые задачи. Также в книге содержится руководство по математическому программированию на Comsol Script и особенности взаимодействия пакета Comsol Multiphysics с системой Matlab.
Данное пособие - первое руководство по Comsol Multiphysics на русском языке.
Полезно для студентов 3 и 4 курсов, изучающих курс математического моделирования.Содержание:
Метод конечных элементов.
Теоретическое введение.
Виды конечных элементов.Начало работы с FEMLAB.
Установка.
Общие принципы работы.
Прикладные режимы.
Процесс постановки и решения задачи.
Среда Comsol Multiphysics 3.5a.
Навигатор моделей.
Рабочая среда программы.
Задание областей.
Рисование базовых геометрических объектов.
Преобразования объектов.
Логические операции с объектами.
Аналитическое задание объектов.
Постановка задачи.
Задание коэффициентов уравнения.
Задание граничных условий.
Генерация сетки.
Треугольная сетка.
Четырёхугольные элементы.
Выбор базисных функций.
Решение задачи.
Стационарные решатели.
Визуализация результатов.
Построение главного графика.
Экспорт графика в файл.
Построение графиков на сечениях и точках.
Построение графиков на границах и в ключевых точках области.
Выражения и функции в FEMLAB.
Введение.
Задание констант и регулярных выражений.
Использование констант и регулярных выражений.
Функции.
Свойства осей и грида.Практическое моделирование на FEMLAB.
Решение нестационарных задач.
Постановка задачи.
Решение задачи.
Визуализация решения.
Учёт начальных условий задачи.
Решение дифференциально-алгебраических систем уравнений.
Решение задач на собственные значения.
Решение задач с параметром.
Решение уравнений акустики.
Общие сведения.
Математическая постановка задачи.
Прикладной режим уравнений акустики.
Граничные условия.
Пример задачи на распространение звука. Акустика реактивного глушителя.
Решение задач строительной механики.
Теоретическое введение.
Прикладной режим уравнений строительной механики.
Закрепления.
Нагрузки.
Пример задачи распределения напряжений в трапециевидной мембране.
Решение задачи нахождения скоростей течения льда системой FEMLAB.
Теоретические сведения.
Постановка и решение задачи.
Реализация мультифизического режима.
Решение задач с изменяющейся геометрией.
Решение задачи нагревания капли жидкости.
Формы уравнений.
Общие сведения.
Прикладные режимы.
Коэффициентная форма уравнения.
Генеральная форма.
Слабая форма.
Решение одномерных задач.
Решение трёхмерных задач.
Задание трёхмерной геометрии.
Задание уравнений и генерация сетки.
Визуализация результатов.
Переход от двумерной геометрии к трёхмерной.Связь с Matlab. Comsol Script.
Введение.
Запуск совместной работы с Matlab и Comsol Script.
Начало работы с Comsol Script.
Основные сведения.
Работа с памятью Comsol Script.
Векторы, матрицы и массивы в Comsol Script.
Элементы программирования в Comsol Script.
Оператор ветвления if.
Цикл с условием.
Цикл со счётчиком.
Оператор выбора.
Моделирование задач в Maltab и Comsol Script.
Объектная модель FEMLAB.
Решение уравнения Пуассона.
Импорт и экспорт модели.
Создание геометрических объектов.
Создание базовых геометрических объектов.
Создание сложных объектов.
Преобразования объектов и логические операции.
Интерполяция геометрических объектов.
Задание модели.
Основные положения.
Постановка задачи.
Задание уравнений.
Генерация сетки.
Тестовые функции.
Константы и выражения.
Выбор решателя.
Визуализация и обработка данных.

а). Чертеж расчетной области с указанием граничных условий и решаемого уравнения б). Результаты расчета – картина поля и значение сопротивление растекания

для однородного грунта. Результаты вычисления коэффициента экранирования.

в). Результаты расчета – картина поля и значение сопротивление растекания для двухслойного грунта. Результаты вычисления коэффициента экранирования.

2. Исследование электрического поля в нелинейном ограничителе перенапряжений

Нелинейные ограничители перенапряжений (рис.2.1) применяются для защиты высоковольтного оборудования от перенапряжений. Типичный ограничитель перенапряжений с полимерной изоляцией состоит из нелинейного оксидно-цинкового резистора (1), размещаемого внутри изоляционного стеклопластикового цилиндра (2), на наружную поверхность которого напрессована силиконовая изоляционная покрышка (3). Изоляционный корпус ограничителя с обоих концов закрыт металлическими фланцами (4), имеющими резьбовое присоединение к стеклопластиковой трубе.

Если ограничитель находится под рабочим напряжением сети, то активный ток, протекающий через резистор пренебрежимо мал и электрические поля в рассматриваемой конструкции хорошо описываются уравнениями электростатики

div gradU 0

E gradU,

где - электрический потенциал, - вектор напряженности электрического поля.

В рамках данной работы необходимо исследовать распределение электрического поля в ограничителе и рассчитать его емкость.

Рис.2.1 Конструкция нелинейного ограничителя перенапряжений

Поскольку ограничитель перенапря-жений является телом вращения, то при расчете электрического поля целесообразно применить цилиндрическую систему координат. В качестве примера будет рассмотрен аппарат на напряжение 77 кв. Аппарат для работы установлен на проводящее цилиндрическое основание. Расчетная область с указанием размеров и граничных условий представлена на рис.2.2. Внешние размеры расчетной области следует выбрать равными примерно 3- 4 высоты аппарата вместе с установочной базой высотой 2.5 м. Уравнение для потенциала в условиях цилиндрической симметрии можно записать в цилиндрической системе координат с двумя независимыми переменными в виде

Рис.2.2 Расчетная область и граничные условия

На границе расчетной (заштрихованной) области (рис. 2.2) устанавливаются следующие граничные условия: на поверхности верхнего фланца потенциал, соответствующий рабочему напряжению U=U 0 аппарата, поверхность нижнего фланца и основания аппарата заземлены, на границах внешней

области задается условия исчезновения поля U 0; на участках границы с

r=0 задается условие осевой симметрии (axis symmetry).

Из физических свойств материалов конструкции ограничителя перенапряжений необходимо задать относительную диэлектрическую проницаемость, значения которой приведены в таблице 2.1

Относительная диэлектрическая проницаемость подобластей расчетной области

Рис. 2.3

Конструктивные размеры приведены на рис.2.3

ограничителя перенапряжений и основания

Построение расчетной модели начинается с запуска Comsol Multiphysics и на стартовой вкладке

Выбираем 1) тип геометрии (space dimension) – 2D Axisymmetric, 2) Тип физической задачи – AC/DC module- >static->electrostatics.

Важно заметить, что все геометрические размеры и другие параметры задачи следует задавать, используя систему единиц SI.

Рисование расчетной области начинаем с нелинейного резистора (1). Для этого в меню Draw выбираем specify objects->rectangle и вводим width 0.0425 и hight 0.94, а так же координаты базовой точки r=0 и z=0.08. Затем аналогично рисуем: стенку стеклопластиковой трубы: (Width= 0.0205, hight=1.05, r=0.0425, z=0.025); стенку резиновой изоляции

(width=0.055, hight=0.94, r=0.063, z=0.08).

Далее рисуются прямоугольники заготовок подобластей фланцев: верхнего (width=0.125, hight=0.04, r=0, z=1.06), (width=0.073, hight=0.04, r=0, z=1.02) и нижнего (width=0.073, hight=0.04, r=0, z=0.04), (width=0.125, hight=0.04, r=0, z=0). На этом этапе построения геометрии модели следует выполнить скругление острых кромок электродов. Для этого используется команда Fillet меню Draw. Для того, чтобы воспользоваться этой командой, выделяем мышью прямоугольник один из углов которого будет сглаживаться и выполняем Draw->Fillet. Далее мышью отмечаем вершину сглаживаемого угла и во всплывшем окне вводим значение радиуса скругления. Этим методом выполним скругления углов сечения фланцев имеющих непосредственный контакт с воздухом (рис.2.4), установив начальный радиус скругления равным 0.002 м. далее этот радиус следует выбрать исходя из ограничения коронного разряда.

После выполнения операций скругления кромок остается начертить основание (base) и внешюю область. Это можно сделать описанными выше командами вычерчивания прямоугольника. Для основания (width=0.2, hight=2.4, r=0, z=-2.4) и для внешней области (width=10, hight=10, r=0, z=- 2.4).


	Следующим этапом подготовки

	модели является задание физических
	свойств элементов конструкции. В
	нашей задаче	диэлектрическая
	проницаемость.			удобства
	редактирования			создадим
	список констант, используя меню
	Options->constats. В ячейки таблицы
	констант
	константы и ее значение, причем
	имена можно назначать произвольно.
Рис.2.4 Области скругления (Fillet)	Числовые значения	диэлектрической
	проницаемости		материалов
	конструкции		ограничителя

	приведены выше. Дадим, например,
	следующие		постоянным

eps_var, eps_tube, eps_rubber, числовые значения которых будут определять относительную диэлектрическую проницаемость соответственно нелинейного резистора, стеклопластиковой трубы, внешней изоляции.

Далее переводим Сomsol Мultiphysis c в режим задания свойств подобластей с помощью команды Physics->Subdomain settings. Используя команду zoom window можно увеличивать при необходимости фрагменты чертежа. Для задания физических свойств подобласти ее следует выделить мышью на чертеже или выбрать из списка, который появится на экране после выполнения данной выше команды. Выделенная область окрашивается на чертеже. В окноε r isotropic редактора свойств подобластей следует ввести имя соответствующей константы. Для внешней подобласти следует сохранить установленное по умолчанию значение диэлектрической проницаемости, равное 1.

Подобласти, находящихся внутри потенциальных электродов (фланцы и основание) следует исключить из анализа. Для этого в окне редактора свойств подобластей следует снять указатель active in this domain. Эта команда должна быть выполнена, например, для подобластей, показанных на

Следующий этап подготовки модели-


постановка граничных условий. Для
перехода к	редактированию		граничных
условий используется команда Physucs-

мыши выделяется нужная линия и с
	приведенной
запускается редактор граничных условий.
Тип и значение		граничного	условия на
каждом отрезке границы назначается в
соответствии		рис. 2.2. При задании

потенциала верхнего фланца его целесообразно также внести в список констант, например под именем U0 и с числовым значением 77000.

Завершает подготовку модели к расчету построение сетки конечных элементов. Для обеспечения высокой точности расчета поля вблизи кромок следует использовать ручную настройку размера конечных элементов в области скруглений. Для этого в режиме редактирования граничных условий выделить с помощью курсора мыши непосредственно скругление. Для выделения всех скруглений удерживаем клавишу Ctrl. Далее выбираем пункт меню Mesh-Free mesh parametrs->Boundary. В окно maximum element size

следует ввести числовое значение, получаемое умножением радиуса скругления на 0.1. Это обеспечит построение сетки, адаптированной к кривизне скругления кромки фланца. Построение сетки выполняется командой командой Mesh->Initialize mesh. Сетку можно сделать более густой с помощью команды Mesh->refine mesh. Команда Mesh->Refine selection

позволяет получить локальное сгущение сетки, например, вблизи линий с малым радиусом кривизны. При выполнении этой команды с помощью мыши на чертеже выделяется прямоугольная область, в пределах которой будет выполняться измельчение сетки. Для того, чтобы просмотреть уже построенную сетку можно использовать команду Mesh-> mesh mode.

Решение задачи выполняется командой Solve->solve problem. После выполнения расчета Сomsol Мultiphysis переходит в режим постпроцессора. При этом на экран выводится графическое представление результатов расчета. (По умолчанию это цветовая картина распределения электрического потенциала).

Для получения более удобного при распечатки на принтере представления картины поля можно изменить способ представления например следующим образом. Командой Postprocesing->Plot parameters открывается редактор постпроцессора. На закладке General активизировать два пункта: Contour и Streamline. В результате будет отображаться картина роля, состоящая из линий равного потенциала и силовых линий (напряженность электрического поля) – рис.2.6.

В рамках данной работы решаются две задачи:

выбор радиусов скругления кромок электродов, граничащих с воздухом, по условию возникновения коронного разряда и расчет электрической емкости ограничителя перенапряжений.

а) Выбор радиусов скругления кромок

При решении этой задачи следует исходить из величины напряженности начала коронного разряда равной примерно 2.5*106 В/м. После формирования и решения задачи для оценки распределения напряженности электрического поля вдоль поверхности верхнего фланца следует перевести Сomsol Мultiphysis в режим редактирования граничных условий и выделить необходимый участок границы верхнего фланца (рис.9)

Типичная картина поля ограничителя перенапряжений

Выделение участка границы фланца для построения распределения напряженности электрического поля

Далее с помощью команды Postprocessing -> Domain plot parameters-> Line extrusion следует редактор величин для рисования линейных распределений и ввести в окно отображаемой величины имя модуля напряженности электрического поля - normE_emes. После нажатия OK будет построен график распределения напряженности поля вдоль выделенного участка границы. Если напряженность поля превосходит указанную выше величину, то следует вернуться к построению геометрической модели (Draw->Draw mode) и увеличить радиусы скругления кромок. После выбора подходящих радиусов скругления сравнить распределение напряженности вдоль поверхности фланца с начальным вариантом.

2) Расчет электрической емкости

В рамках данной работы воспользуемся энергетическим способом оценки емкости. Для этого вычисляется объемный интеграл по всей

расчетной области от плотности энергии электростатического поля с помощью команды Postprocessing->Subdomain integration. При этом в появившемся окне со списком подобластей следует выделить все подобласти, содержащие диэлектрик, включая воздух, а в качестве интегрируемой величины выбрать плотность энергии поля -We_emes. Важно, чтобы режим вычисления интеграла с учетом осевой симметрии был активирован . В

результате вычисления интеграла (после нажатия OK) в нижней части

C 2We _emes /U 2 вычисляется емкость объекта.

Если заменить диэлектрическую проницаемость в области нелинейного резистора на значение, соответствующее стеклопластику, то свойства исследуемой конструкции будут полностью соответствовать полимерному опорному изолятору стержневого типа. Следует рассчитать емкость опорного изолятора и сравнить ее с емкостью ограничителя перенапряжений.

1. Модель (уравнение, геометрия, физические свойства, граничные условия)

2. Таблица результатов расчета максимальных напряженностей электрического поля на поверхности верхнего фланца при различных радиусах скругления. Следует привести распределения напряженности электрического поля на поверхности фланца при минимальном и максимальном из исследованных значениях радиуса скругления

3. Результаты расчета емкости ОПН и опорного изолятора

4. Объяснение результатов, выводы

3. Оптимизация электростатического экрана для нелинейного ограничителя перенапряжений.

В рамках данной работы следует на основе расчетов электростатического поля выбрать геометрические параметры тороидального экрана нелинейного ограничителя перенапряжений на напряжение 220 кВ. Данный аппарат состоит из двух одинаковых модулей включаемых последовательно путем установки друг на друга. Целый аппарат устанавливается на вертикальное основание высотой 2.5 м (рис.3.1).

Модули аппарата представляют собой полую изоляционную конструкцию цилиндрической формы, внутри которой располагается нелинейный резистор, представляющий собой колонку кругового сечения. Верхняя и нижняя части модуля оканчиваются металлическими фланцами, используемыми в качестве контактного соединения (рис. 3.1).

Рис.3.1 Конструкция двухмодульного ОПН -220 с выравнивающим экраном

Высота аппарата в сборе составляет около 2 м. Поэтому электрическое поле распределяется по его высоте с заметной неравномерностью. Это вызывает неравномерное распределение токов в резисторе ОПН при воздействии рабочего напряжения. В результате часть резистора получает повышенный нагрев, в то время как в других части колонки оказываются не нагруженными. Для того чтобы избежать данного явления в процессе длительной эксплуатации применяются тороидальные экраны, устанавливаемые на верхнем фланце аппарата, размеры и расположение которых выбирают исходя из достижения наиболее равномерного распределения электрического поля по высоте аппарата.

Поскольку конструкция ОПН с тороидальным экраном обладает осевой симметрией, то для расчета целесообразно использовать двухмерное уравнение для потенциала в цилиндрической системе координат

Для решения задачи в Comsol MultiPhysics используется модель 2-D Axial Symmetry AC/DC module->Static->Electrostatics. Расчетная область вычерчивается в соответствии с рис. 3.1 с учетом осевой симметрии.

Подготовка расчетной области выполняется по аналогии с работой 2. Внутренние области металлических фланцев целесообразно исключить из расчетной области (рис.3.2) с помощью команд Create composite object меню Draw. Внешние размеры расчетной области составляют 3-4 полной высоты конструкции. Острые кромки фланцев следует скруглить с радиусом 5-8 мм.

Физические свойства подобластей определяются значением относительной диэлектрической проницаемости применяемых материалов, значения которой приведены в таблице

Таблица 3.1

Относительная диэлектрическая проницаемость материалов конструкции ОПН

	Relative Permittivity

Tube (Glass plastic)
External insulation (rubber)

Граничные условия : 1) Поверхность верхнего фланца верхнего модуля и поверхность выравнивающего экрана Potential – фазное напряжение сети 154000*√2 В; 2) Поверхность нижнего фланца нижнего модуля, поверхность основания, поверхность земли – ground; 3) Поверхность промежуточных фланцев (нижний фланец верхнего и верхний фланец нижнего модуля) Floating Potential; 4) Линия осевой симметрии (r=0) – Axial Symmetry; 5)

Удаленные границы расчетной области Zero Charge/Symmetry Применяемое на промежуточном фланце граничное условие типа плавающий потенциал физически основано на равенстве нуля полного электрического

Электрические кабели характеризуются такими параметрами, как импеданс и коэффициент затухания. В данном топике будет рассмотрен пример моделирования коаксиального кабеля, для которого существует аналитическое решение. Мы покажем вам, как рассчитать параметры кабеля, исходя из результатов моделирования электромагнитных полей в среде COMSOL Multiphysics. Разобравшись с принципами построения модели коаксиального кабеля, в дальнейшем мы сможем применять полученные знания для вычисления параметров линий передач или кабелей произвольного типа.

Вопросы проектирования электрических кабелей

Электрические кабели, называемые также линиями электропередачи, в настоящее время повсеместно применяются для передачи данных и электроэнергии. Даже если вы читаете этот текст с экрана на сотового телефона или планшетного компьютера, используя “беспроводную” связь, все равно внутри вашего устройства остаются “проводные” линии электропередачи, соединяющие различные электрические компоненты в единое целое. А вернувшись вечером домой, вы, скорее всего, подключите к устройству кабель питания для зарядки.

Применяются самые разнообразные линии электропередач от малых, выполненных в виде копланарных волноводов на печатных монтажных платах, до очень больших высоковольтных линий электропередачи . Они также должны функционировать в различных и, зачастую, экстремальных режимах и условиях эксплуатации, от трансатлантических телеграфных кабелей до электропроводки на космических кораблях, внешний вид которой приведен на рисунке ниже. Линии передачи необходимо разрабатывать с учетом всех необходимых требований, чтобы гарантировать их надежную работу в заданных условиях. Кроме этого, они могут являться предметом исследований с целью дальнейшей оптимизации конструкции, включая выполнение требований по механической прочности и малому весу.

Соединительные провода в грузовом отсеке макета шаттла OV-095 в Shuttle Avionics Integration Laboratory (SAIL).

При проектировании и использовании кабелей, инженеры часто оперируют с распределенными (или удельными, т.е. приходящимися на единицу длины) параметрами для последовательного сопротивления (R), последовательной индуктивности (L), шунтирующей емкости (C), и шунтирующей проводимости (G, иногда называемой проводимостью изоляции). Эти параметры вполне можно использовать для расчета качества функционирования кабеля, его характеристического импеданса и потерь в нем при распространении сигналов. Однако важно иметь в виду, что эти параметры находятся из решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Для численного решения уравнений Максвелла с целью расчета электромагнитных полей, а также для учета влияния мультифизических эффектов, можно использовать среду COMSOL Multiphysics, что позволит определить, каким образом изменяются параметры кабеля и его эффективность при различных режимах работы и условиях эксплуатации. Разработанная модель может быть впоследствии преобразована в интуитивно-понятное приложение, подобно приведенному , которое рассчитывает параметры для стандартных и часто используемых линий передач.

В данном топике мы разберем случай коаксиального кабеля — фундаментальной задачи, которая обычно содержится в любом стандартном учебном курсе по СВЧ-технике или линиям электропередач. Коаксиальный кабель является настолько фундаментальным физическим объектом, что Оливер Хевисайд (Oliver Heaviside) запатентовал его в 1880 году, спустя всего лишь несколько лет после того, как Максвелл сформулировал свои знаменитые уравнения. Для студентов изучающих историю науки — это тот самый Оливер Хевисайд, который впервые сформулировал уравнения Максвелла в том векторном виде, который является теперь общепринятым; тот, кто впервые использовал термин “импеданс”; и кто внес весомый вклад в развитие теории линий электропередач.

Результаты аналитического решения для коаксиального кабеля

Начнем свое рассмотрение с коаксиального кабеля, имеющего характерные размеры, обозначенные на схематичном изображении его поперечного сечения, представленном ниже. Диэлектрическая сердцевина между внутренним и внешним проводником имеет относительную диэлектрическую проницаемость (\epsilon_r = \epsilon" -j\epsilon"" ) равную 2.25 – j*0.01, относительную магнитную проницаемость (\mu_r ) равную 1 и нулевую проводимость, тогда как внутренний и внешний проводники обладают проводимостью (\sigma ) равной 5.98e7 С/м (Сименс/метр).

2D поперечное сечение коаксиального кабеля со значениями характерных размеров: a = 0.405 мм, b = 1.45 мм, и t = 0.1 мм.

Стандартный метод решения для линий электропередач заключается в том, что структура электромагнитных полей в кабеле предполагается известной, а именно считается, что они будут осциллировать и затухать в направлении распространения волны, в то время как в поперечном направлении профиль сечения поля остается неизменным. Если затем мы находим решение, удовлетворяющее исходным уравнениям, то в силу теоремы единственности, найденное решение будет являться верным.

На математическом языке все вышесказанное эквивалентно тому, что решение уравнений Максвелла ищется в виде анзац -формы

для электромагнитного поля , где (\gamma = \alpha + j\beta ) является комплексной постоянной распространения, а \alpha и \beta являются коэффициентами затухания и распространения, соответственно. В цилиндрических координатах для коаксиального кабеля, это приводит к хорошо известным решениям для полей

\begin{align}
\mathbf{E}&= \frac{V_0\hat{r}}{rln(b/a)}e^{-\gamma z}\\
\mathbf{H}&= \frac{I_0\hat{\phi}}{2\pi r}e^{-\gamma z}
\end{align}

из которых затем получаются распределенные параметры на единицу длины

\begin{align}
L& = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi}ln\frac{b}{a} + \frac{\mu_0\mu_r\delta}{4\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
C& = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon"}{ln(b/a)}\\
R& = \frac{R_s}{2\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
G& = \frac{2\pi\omega\epsilon_0\epsilon""}{ln(b/a)}
\end{align}

где R_s = 1/\sigma\delta — поверхностное сопротивление, а \delta = \sqrt{2/\mu_0\mu_r\omega\sigma} является .

Чрезвычайно важно подчеркнуть, что соотношения для емкости и шунтирующей проводимости выполняются для любых частот, в то время как выражения для сопротивления и индуктивности зависят от глубины скин-слоя и, следовательно, применимы только при частотах, на которых глубина скин-слоя много меньше физической толщины проводника. Именно поэтому второй член в выражении для индуктивности, называемый также внутренней индуктивностью , может быть незнаком некоторым читателям, так как им обычно пренебрегают, когда металл рассматривается как идеальный проводник. Этот член представляет собой индуктивность, вызванную проникновением магнитного поля в металл, обладающий конечной проводимостью, и пренебрежимо мал при достаточно высоких частотах. (Он также может быть представлен в виде L_{Internal} = R/\omega .)

Для последующего сопоставления с численными результатами, можно вычислить соотношение для сопротивления по постоянному току из выражения для проводимости и площади поперечного сечения металла. Аналитическое выражение для индуктивности (по постоянному току) немного сложнее, и поэтому мы приводим его здесь для справки.

L_{DC} = \frac{\mu}{2\pi}\left\{ln\left(\frac{b+t}{a}\right) + \frac{2\left(\frac{b}{a}\right)^2}{1- \left(\frac{b}{a}\right)^2}ln\left(\frac{b+t}{b}\right) – \frac{3}{4} + \frac{\frac{\left(b+t\right)^4}{4} – \left(b+t\right)^2a^2+a^4\left(\frac{3}{4} + ln\frac{\left(b+t\right)}{a}\right) }{\left(\left(b+t\right)^2-a^2\right)^2}\right\}

Теперь, когда у нас есть значения C и G во всем диапазоне частот, значения для R и L по постоянному току, и их асимптотические значения в области высоких частот, мы обладаем прекрасными ориентирами для сравнения с численными результатами.

Моделирование кабелей в модуле AC/DC

При постановке задачи для численного моделирования, всегда важно учитывать следующий момент: возможно ли использование симметрии задачи для уменьшения размеров модели и увеличения скорости вычислений. Как мы видели ранее, точное решение будет иметь вид \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} . Поскольку интересующее нас пространственное изменение полей, происходит в первую очередь в xy -плоскости, то мы хотим выполнить моделирование только в 2D-поперечном сечении кабеля. Однако при этом возникает проблема, которая заключается в том, что для 2D-уравнений, используемых в AC/DC модуле, предполагается, что поля остаются инвариантными в направлении перпендикулярном плоскости моделирования. Это означает, что мы не сможем получить информацию о пространственном изменении анзац-решения за счет единственного 2D AC/DC-моделирования. Однако с помощью моделирования в двух различных плоскостях это возможно. Последовательное сопротивление и индуктивность зависят от тока и энергии, запасенной в магнитном поле, тогда как шунтирующая проводимость и емкость зависят от энергии в электрическом поле. Рассмотрим эти аспекты более подробно.

Распределенные параметры для шунтирующей проводимости и емкости

Поскольку шунтирующая проводимость и емкость могут быть рассчитаны, исходя из распределения электрического поля, начнем с применения интерфейса Электрические токи .

Граничные условия и свойства материала для интерфейса моделирования Электрические токи.

После того, как геометрия модели определена и присвоены значения свойствам материала, делается предположение о том, что поверхность проводников является эквипотенциальной (что абсолютно обосновано, поскольку разница в проводимостях между проводником и диэлектриком, составляет, как правило, почти 20 порядков по величине). Затем мы задаем значения физических параметров, присваивая внутреннему проводнику электрический потенциал V 0 и заземление внешнему проводнику для нахождения электрического потенциала в диэлектрике. Вышеуказанные аналитические выражения для емкости получаются из следующих наиболее общих соотношений

\begin{align}
W_e& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}\\
W_e& = \frac{C|V_0|^2}{4}\\
C& = \frac{1}{|V_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

где первое соотношение является уравнением электромагнитной теории, а второе уравнением теории цепей.

Третье соотношение является комбинацией первого и второго уравнений. Подставляя вышеуказанные известные выражения для полей, мы получим приведенный ранее аналитический результат для C в коаксиальном кабеле. В итоге эти уравнения позволяют нам определить ёмкость через значения полей для произвольного кабеля. По результатам моделирования, мы можем вычислить интеграл плотности электрической энергии, что дает для емкости значение 98.142 пФ/м и совпадает с теорией. Поскольку G и C и связаны выражением

G=\frac{\omega\epsilon"" C}{\epsilon"}

у нас теперь имеется два из четырех параметров.

Стоит повторить, что мы сделали предположение о том, что проводимость диэлектрической области равна нулю. Это стандартное предположение, которое делается во всех учебных пособиях, и мы также следуем здесь этому соглашению, потому что оно не оказывает существенного влияния на физику — в отличие от включения нами в рассмотрение члена внутренней индуктивности, что обсуждалось ранее. Многие материалы для диэлектрического сердечника обладают ненулевой проводимостью, но это легко может быть учтено при моделировании, просто подставив новые значения в свойства материала. В этом случае, для обеспечения надлежащего сопоставления с теорией, необходимо также внести соответствующие поправки в теоретические выражения.

Удельные параметры для последовательного сопротивления и индуктивности

Аналогичным образом, последовательное сопротивление и индуктивность можно рассчитать с помощью моделирования при использовании интерфейса Магнитные поля в модуле AC/DC. Настройки моделирования элементарны, что иллюстрируется на рисунке ниже.

Области проводников добавляются к узлу Одновитковая Катушка в разделе Группа катушек, и, выбранная опция обратного направления тока гарантирует, что направление тока во внутреннем проводнике будет противоположным току внешнего проводника, что обозначается на рисунке точками и крестиками. При расчете частотной зависимости будет учитываться распределение тока в одновитковой катушке, а не произвольное распределение тока, показанное на рисунке.

Для вычисления индуктивности обратимся к следующим уравнениям, которые являются магнитным аналогом предыдущих уравнений.

\begin{align}
W_m& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}\\
W_m& = \frac{L|I_0|^2}{4}\\
L& = \frac{1}{|I_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}

Для вычисления сопротивления, применяется несколько другая техника. Сначала, мы интегрируем резистивные потери для определения рассеиваемой мощности, приходящейся на единицу длины. А затем используем хорошо известное соотношение P = I_0^2R/2 для расчета сопротивления. Поскольку R и L изменяются с частотой, давайте посмотрим на расчетные значения и аналитическое решение в пределе постоянного тока и в области высоких частот.

“Аналитическое решение для постоянного тока” и ” Аналитическое решение в области высоких частот” графические зависимости соответствуют решениям аналитических уравнений для постоянного тока и в области высоких частот, которые обсуждались ранее в тексте статьи. Отметим, что обе зависимости приведены в логарифмическом масштабе по частотной оси.

Хорошо видно, что расчетные значения плавно переходят из решения для постоянного тока в области низких частот в высокочастотное решение, которое будет справедливым при глубине скин-слоя много меньшей толщины проводника. Разумно предположить, что переходная область располагается приблизительно в том месте по оси частот, где глубина скин-слоя и толщина проводника различаются не более чем на порядок величины. Эта область лежит в диапазоне от 4.2e3 Гц до 4.2e7 Гц, что в точности соответствует ожидаемому результату.

Характеристический импеданс и постоянная распространения

Теперь, когда мы завершили трудоемкую работу по вычислению R, L, C, и G, остаются еще два других, существенных для анализа линий электропередач параметра, которые нужно определить. Ими являются характеристический импеданс (Z c) и комплексная постоянная распространения (\gamma = \alpha + j\beta ), где \alpha — коэффициент затухания, а \beta — коэффициент распространения.

\begin{align}
Z_c& = \sqrt{\frac{(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}\\
\gamma& = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
\end{align}

На рисунке ниже, представлены эти значения, вычисленные с помощью аналитических формул в режимах постоянного тока и высокочастотного сигнала, в сравнении со значениями, определенными по результатам моделирования. Кроме этого, четвертой зависимостью на графике является импеданс, рассчитанный в среде COMSOL Multiphysics с помощью модуля Радиочастоты, который мы кратко рассмотрим чуть позже. Как можно заметить, результаты численного моделирования хорошо согласуются с аналитическими решениями для соответствующих предельных режимов, а также дают правильные значения в переходной области.

Сравнение характеристического импеданса, вычисленного с использованием аналитических выражений и определенного по результатам моделирования в среде COMSOL Multiphysics. Аналитические кривые строились с помощью соответствующих предельных выражений для режима постоянного тока и высокочастотной области, рассмотренных ранее, тогда как для моделирования в среде COMSOL Multiphysics использовались модули AC/DC и Радиочастоты. Для наглядности, толщина линии “RF module” была специально увеличена.

Моделирование кабеля в области высоких частот

Энергия электромагнитного поля распространяется в виде волн, а значит рабочая частота и длина волны обратно пропорциональны друг другу. По мере того, как мы сдвигаемся в область все более высоких частот, мы вынуждены принимать во внимание относительный размер длины волны и электрический размер кабеля. Как обсуждалось в предыдущей записи , мы должны сменить AC/DC на модуль Радиочастоты при электрическом размере приблизительно λ/100 (о концепции «электрического размера» см. там же). Если в качестве электрического размера мы выберем диаметр кабеля, а вместо скорости света в вакууме — скорость света в диэлектрическом сердечнике кабеля, то получим частоту для перехода в районе 690 МГц.

При таких высоких частотах, сам кабель более уместно рассматривать в качестве волновода, а возбуждение кабеля можно рассматривать, как моды волновода. Используя волноводную терминологию, до сих пор мы рассматривали моду специального типа, называемую TEM -модой, которая может распространяться на любой частоте. Когда поперечное сечение кабеля и длина волны становятся сопоставимы, мы также должны учитывать возможность существования мод высших порядков. В отличие от TEM-моды большинство волноводных мод может распространяться только при частоте возбуждения выше некоторой характеристической частоты отсечки. Благодаря цилиндрической симметрии в нашем примере, имеется выражение для частоты отсечки первой моды высшего порядка — TE11. Эта частота отсечки f c = 35.3 ГГц, но даже при такой относительно простой геометрии, частота отсечки является решением трансцендентного уравнения, которое мы не будем рассматривать в данной статье.

Так какое значение для наших результатов имеет эта самая частота отсечки? Выше этой частоты, энергия волны, переносимая в TEM-моде, которой мы интересуемся, имеет потенциальную возможность вступить во взаимодействие с TE11-модой. В идеализированной геометрии, подобной смоделированной здесь, никакого взаимодействия не будет. В реальной же ситуации, однако, любые дефекты в конструкции кабеля могут привести к взаимодействию мод на частотах выше частоты отсечки. Это может являться результатом воздействия целого ряда неконтролируемых факторов: от погрешностей изготовления до градиентов свойств материала. Такую ситуацию проще всего избежать на стадии проектирования кабелей, расчитав работу на заведомо более низких частотах, чем частота отсечки мод высшего порядка, так чтобы распространяться могла только одна мода. Если это представляет интерес, то вы можете также использовать среду COMSOL Multiphysics для моделирования взаимодействия между модами высших порядков, как это сделано в этой (хотя это выходит за рамки настоящей статьи).

Модальный анализ в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика

Моделирование мод высших порядков идеально реализуется с помощью модального анализа в модуле Радиочастоты и модуле Волновая оптика. Анзац-формой решения в этом случае является выражение \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} , которое в точности соответствует структуре мод, что и является нашей целью. В результате, модальный анализ сразу выдает решение для пространственного распределения поля и комплексной постоянной распространения для каждой из заданного количества мод. При этом мы можем использовать ту же геометрию модели, что и прежде, за исключением того, что нам достаточно использовать в качестве области моделирования только диэлектрический сердечник и .

Результаты расчета константы затухания и эффективного показателя преломления волновой моды из Модового Анализа. Аналитическая кривая на левом графике — коэффициент затухания в зависимости от частоты — вычисляется с использованием тех же самых выражений, как и в случае ВЧ-кривых, используемых для сравнения с результатами моделирования в AC/DC модуле. Аналитическая кривая на правом графике — эффективный показатель преломления в зависимости от частоты — это просто n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r} . Для наглядности, размер линии “COMSOL — TEM” был преднамеренно увеличен на обоих графиках.

Отчетливо видно, что результаты Модового Анализа TEM-моды совпадают с аналитической теорией и, что рассчитанная мода высшего порядка появляется на предварительно определенной частоте отсечки. Удобно, что комплексная постоянная распространения непосредственно вычисляется в процессе моделирования и не требует промежуточных вычислений R, L, C, и G. Это становится возможным в силу того, что \gamma явным образом включена в искомую форму анзац-решения и находится при решении подстановкой ее в основное уравнение. При желании, другие параметры также могут быть вычислены для TEM-моды, а более подробную информацию об этом можно найти в из Галереи Приложений. Заслуживает также внимания тот факт, что этот же метод модального анализа может быть использован для расчета диэлектрических волноводов, как это реализовано в .

Заключительные замечания по моделированию кабелей

К настоящему моменту мы тщательно проанализировали модель коаксиального кабеля. Мы вычислили распределенные параметры от режима постоянного тока до области высоких частот и рассмотрели первую моду высшего порядка. Немаловажно, что результаты модального анализа зависят только от геометрических размеров и свойств материала кабеля. Результаты для моделирования в модуле AC/DC требуют дополнительной информации о том, каким образом кабель возбуждается, но, надеюсь, вы в курсе о том, что подключается к вашему кабелю! Мы использовали аналитическую теорию исключительно для того, чтобы сравнить результаты численного моделирования с хорошо известными результатами для эталонной модели. Это означает, что анализ можно обобщить и на другие кабели, равно как и добавить к нему взаимосвязи для мультифизического моделирования, которые включают в себя температурные изменения и структурные деформации.

Несколько интересных нюансов для построения модели (в виде ответов на возможные вопросы):

“Почему вы не упомянули и/или не привели графики характеристического импеданса и всех распределенных параметров для TE11-моды?”
- Потому что только TEM-моды имеют однозначно определенные напряжение, ток и характеристический импеданс. В принципе, возможно, приписать некоторые из этих значений модам высших порядков, и этот вопрос более подробно буден рассмотрен в дальнейших статьях, а также в различных работах по теории линий передач и СВЧ-техники.
“Когда я решаю задачу на моды с использованием Модального анализа, они маркируются с помощью своих рабочих индексов. Откуда берутся обозначения TEM- и TE11-мод?”
- Эти обозначения появляются при теоретическом анализе и используются для удобства при обсуждении результатов. Такое наименование не всегда возможно при произвольной геометрии волновода (или кабеля в волноводном режиме), однако стоит учитывать, что данное обозначение всего лишь “имя”. Какое бы наименование не было у моды, она по-прежнему несет электромагнитную энергию (исключая, разумеется, нетуннелирующие эванесцентные волны)?
“Почему в некоторых ваших формулах присутствует дополнительный множитель ½?”
- Это происходит при решении задач электродинамики в частотной области, а именно, при умножении двух комплексных величин. При выполнении усреднения по времени, появляется дополнительный множитель ½, в отличие от выражений во временной области (или при постоянном токе). За дополнительной информацией вы можете обратиться к трудам по классической электродинамике.

Литература

Следующие монографии были использованы при написании этой заметки и послужат превосходными источниками при поиске дополнительной информации:

Microwave Engineering (СВЧ техника) , by David M. Pozar
Foundations for Microwave Engineering (Основы СВЧ-техники) , by Robert E. Collin
Inductance Calculations (Расчет индуктивности) , by Frederick W. Grover
Classical Electrodynamics (Классическая электродинамика) , by John D. Jackson