Относительная деформация. Продольные и поперечные деформации Как возникают продольные и поперечные деформации

Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.

Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.

Пусть прямой брус, длиной и, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу (рис.1). При этом тело удлиняется на величину , которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).

В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию () при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):

Относительная продольная деформация

Относительная продольная деформация - величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы ().

Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.

Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:

где - продольная сила в поперечных сечениях бруса; S - площадь поперечного сечения бруса; E - модуль упругости (модуль Юнга) - физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении ():

Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:

Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.

В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Относительная деформация при сдвиге

При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:

где - относительный сдвиг; - абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; - угол сдвига.

Закон Гука для сдвига записывают как:

где G - модуль сдвига, F - сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Каково относительное удлинение стального стержня, если его верхний конец закреплен неподвижно (рис.2)? Площадь поперечного сечения стержня . К нижнему концу стержня прикреплен груз массой кг. Считайте, что собственная масса стержня много меньше, чем масса груза.
Решение	Сила, которая заставляет стержень растягиваться, равна силе тяжести груза, который находится на нижнем конце стержня. Эта сила действует вдоль оси стержня. Относительное удлинение стержня найдем как: где . Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. Па.
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Нижнее основание металлического параллелепипеда с основанием в виде квадрата со стороной a и высотой h закреплено неподвижно. На верхнее основание параллельно основанию действует сила F (рис.3). Какова относительная деформация сдвига ()? Модуль сдвига (G) считайте известным.

При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а по­перечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате рас­тяжения брус удлинился на величину Δl , которая называется абсолютным удлинением, и получим абсолютное поперечное сужение Δа.

Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией . В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией , а - относительной поперечной деформацией . Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона : (3.1)

Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .

В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:

, (3.2)

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости .

План лекции

1. Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней.

2. Механические характеристики материалов при центральном растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержневой элемент конструкции в двух состояниях (см. рисунок 25):

Внешняя продольная сила F отсутствует, начальная длина стержня и его поперечный размер равны соответственно l и b , площадь сечения А одинакова по всей длине l (внешний контур стержня показан сплошными линиями);

Внешняя продольная растягивающая сила, направленная вдоль центральной оси, равна F , длина стержня получила приращение Δl , при этом его поперечный размер уменьшился на величину Δb (внешний контур стержня в деформированном положении показан пунктирными линиями).

l Δl

Рисунок 25. Продольно-поперечная деформация стержня при его центральном растяжении.

Приращение длины стержня Δl называется его абсолютной продольной деформацией, величина Δb – абсолютной поперечной деформацией. Величина Δl может трактоваться как продольное перемещение (вдоль оси z) концевого поперечного сечения стержня. Единицы измерения Δl и Δb те же, что и начальные размеры l и b (м, мм, см). В инженерных расчетах применяется следующее правило знаков для Δl : при растяжении участка стержня происходит увеличение его длины и величина Δl положительна; если же на участке стержня с начальной длиной l возникает внутренняя сжимающая сила N , то величина Δl отрицательна, т. к. происходит отрицательное приращение длины участка.

Если абсолютные деформации Δl и Δb отнести к начальным размерам l и b , то получим относительные деформации:

– относительная продольная деформация;

– относительная поперечная деформация.

Относительные деформации и являются безразмерными (как правило,

очень малыми) величинами, их именуют обычно е. о. д. – единицами относительных деформаций (например, ε = 5,24·10 -5 е. о. д.).

Абсолютное значение отношения относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации является очень важной константой материала, называемой коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (по фамилии французского ученого)

Как видно коэффициент Пуассона количественно характеризует соотношение между величинами относительной поперечной деформацией и относительной продольной деформацией материала стержня при приложении внешних сил вдоль одной оси. Значения коэффициента Пуассона определяются экспериментально и для различных материалов приводятся в справочниках. Для всех изотропных материалов значения лежит в пределах от 0 до 0,5 (для пробки близко к 0, для каучука и резины близко к 0,5). В частности, для прокатных сталей и алюминиевых сплавов в инженерных расчетах обычно принимается , для бетона .

Зная значение продольной деформации ε (например, в результате замеров при проведении экспериментов) и коэффициент Пуассона для конкретного материала (который можно взять из справочника) можно вычислить значение относительной поперечной деформации

где знак минус свидетельствует о том, что продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные алгебраические знаки (если стержень удлиняется на величину Δl растягивающей силой, то продольная деформация положительна, т. к. длина стержня получает положительное приращение, но при этом поперечный размер b уменьшается, т. е. получает отрицательное приращение Δb и поперечная деформация отрицательна; если же стержень будет сжиматься силой F , то, наоборот, продольная деформация станет отрицательной, а поперечная – положительной).

Внутренние усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций под действием внешних нагрузок, представляют собой единый процесс, в котором все факторы взаимосвязаны между собой. Прежде всего, нас интересует взаимосвязь между внутренними усилиями и деформациями, в частности, при центральном растяжении-сжатии стержневых элементов конструкций. При этом, как и выше, будем руководствоваться принципом Сен-Венана: распределение внутренних усилий существенно зависит от способа приложения внешних сил к стержню лишь вблизи места нагружения (в частности, при приложении сил к стержню через малую площадку), а в частях, достаточно удаленных от мест

приложения сил распределение внутренних усилий зависит только от статического эквивалента этих сил, т. е. при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил будем считать, что в большей части объема стержня распределение внутренних сил будет равномерным (это подтверждается многочисленными экспериментами и опытом эксплуатации конструкций).

Английским ученым Робертом Гуком еще в 17-м веке была установлена прямая пропорциональная (линейная) зависимость (закон Гука) абсолютной продольной деформации Δl от растягивающей (или сжимающей) силы F . В 19-м веке английским ученым Томасом Юнгом сформулирована идея о том, что для каждого материала существует постоянная величина (названная им модулем упругости материала), характеризующая его способность сопротивляться деформированию при действии внешних сил. При этом Юнг первый указал на то, что линейный закон Гука справедлив только в определенной области деформирования материала, а именно – при упругих его деформациях .

В современном представлении применительно к одноосному центральному растяжению-сжатию стержней закон Гука используется в двух видах.

1) Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при центральном растяжении прямо пропорционально его относительной продольной деформации

, (1-й вид закона Гука),

где Е – модуль упругости материала при продольных деформациях, значения которого для различных материалов определены экспериментальным путем и занесены в справочники, которыми технические специалисты пользуются при проведении различных инженерных расчетов; так, для прокатных углеродистых сталей, широко применяемых в строительстве и машиностроении ; для алюминиевых сплавов ; для меди ; для других материалов значение Е всегда можно найти в справочниках (см., например, «Справочник по сопротивлению материалов» авторов Писаренко Г.С. и др.). Единицы измерения модуля упругости Е те же, что и единицы измерения нормальных напряжений, т. е. Па , МПа , Н/мм 2 и др.

2) Если в записанном выше 1-м виде закона Гука нормальное напряжение в сечении σ выразить через внутреннюю продольную силу N и площадь поперечного сечения стержня А , т. е. , а относительную продольную деформацию – через начальную длину стержня l и абсолютную продольную деформацию Δl , т. е. , то после простых преобразований получим формулу для практических расчетов (продольная деформация прямо пропорциональна внутренней продольной силе)

(2-й вид закона Гука). (18)

Из этой формулы следует, что с увеличением значения модуля упругости материала Е абсолютная продольная деформация стержня Δl уменьшается. Таким образом, сопротивляемость элементов конструкций деформациям (их жесткость) можно увеличить путем применения для них материалов с более высокими значениями модуля упругости Е . Среди широко применяемых в строительстве и машиностроении конструкционных материалов высоким значением модуля упругости Е обладают стали. Диапазон изменения величины Е для разных марок сталей небольшой: (1,92÷2,12)·10 5 МПа . У алюминиевых сплавов, например, величина Е примерно в три раза меньше, чем у сталей. Поэтому для

конструкций, к жесткости которых предъявляются повышенные требования, предпочтительными материалами являются стали.

Произведение называют параметром жесткости (или просто жесткостью) сечения стержня при его продольных деформациях (единицы измерения продольной жесткости сечения – Н , кН, МН ). Величина с = Е·А/l называется продольной жесткостью стержня длиной l (единицы измерения продольной жесткости стержня с – Н/м , кН/м ).

Если стержень имеет несколько участков (n ) с переменной продольной жесткостью и сложной продольной нагрузкой (функция внутренней продольной силы от координаты z сечения стержня), то суммарная абсолютная продольная деформация стержня определится по более общей формуле

где интегрирование проводится в пределах каждого участка стержня длиной , а дискретное суммирование – по всем участкам стержня от i = 1 до i = n .

Закон Гука широко применяется в инженерных расчетах конструкций, поскольку большинство конструкционных материалов в процессе эксплуатации могут воспринимать весьма значительные напряжения, не разрушаясь в пределах упругих деформаций.

При неупругих (пластических или упруго-пластических) деформациях материала стержня прямое применение закона Гука неправомерно и, следовательно, вышеприведенные формулы использовать нельзя. В этих случаях следует применять другие расчетные зависимости, которые рассматриваются в специальных разделах курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Механика твердого деформируемого тела», а также в курсе «Теория пластичности».

Законы Р. Гука и С. Пуассона

Рассмотрим деформации стержня, представленного на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Продольные и поперечные деформации при растяжении

Обозначим через абсолютное удлинение стержня. При растяжении – это положительная величина. Через – абсолютную поперечную деформацию. При растяжении – это отрицательная величина. Знаки и соответственно меняются при сжатии.

Отношения

(эпсилон) или , (2.2)

называют относительным удлинением. Оно положительно при растяжении.

Отношения

Или , (2.3)

называют относительной поперечной деформацией. Она отрицательна при растяжении.

Р. Гук в 1660 г. открыл закон, который гласил: «Каково удлинение, такова сила». В современном написании закон Р. Гука записывается так:

то есть напряжение пропорционально относительной деформации. Здесь – модуль упругости первого рода Э. Юнга – это физическая постоянная в пределах действия закона Р. Гука. Для различных материалов она различна. Например, для стали она равна 2·10 6 кгс/см 2 (2·10 5 МПа), для дерева – 1·10 5 кгс/см 2 (1·10 4 МПа), для резины – 100 кгс/см 2 (10 МПа) и т.д.

Учитывая, что , а , получим

где – продольная сила на силовом участке;

– длина силового участка;

– жесткость при растяжении-сжатии.

То есть абсолютная деформация пропорциональна продольной силе, действующей на силовом участке, длине этого участка и обратно пропорциональна жесткости при растяжении-сжатии.

При подсчете по действию внешних нагрузок

где – внешняя продольная сила;

– длина участка стержня, на котором она действует. В этом случае применяют принцип независимости действия сил*).

С. Пуассон доказал, что соотношение – есть постоянная величина, различная для различных материалов, то есть

или , (2.7)

где – коэффициент С. Пуассона. Это, вообще говоря, отрицательная величина. В справочниках ее значение дается «по модулю». Например, для стали она равна 0,25…0,33, для чугуна – 0,23…0,27, для резины – 0,5, для пробки – 0, то есть . Однако для древесины он может быть и больше 0,5.

Экспериментальное исследование процессов деформации и

Разрушения растянутых и сжатых стержней

Русский ученый В.В. Кирпичев доказал, что деформации геометрически подобных образцов подобны, если подобно расположить действующие на них силы, и что по результатам испытаний небольшого образца можно судить о механических характеристиках материала. При этом, конечно, учитывается масштабный фактор, для чего вводится масштабный коэффициент, определяемый экспериментально.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Испытания производят на машинах разрывного действия с одновременной записью диаграммы разрушения в координатах – сила, – абсолютная деформация (рис. 2.3, а). Затем производят пересчет эксперимента с целью построения условной диаграммы в координатах (рис. 2.3, б).

По диаграмме (рис. 2.3, а) можно проследить следующее:

– до точки справедлив закон Гука;

– от точки до точки деформации остаются упругими, но закон Гука уже не справедлив;

– от точки до точки деформации растут без увеличения нагрузки. Здесь происходит разрушение цементного каркаса ферритовых зерен металла, и нагрузка передается на эти зерна. Появляются линии сдвига Чернова–Людерса (под углом 45° к оси образца);

– от точки до точки – стадия вторичного упрочнения металла. В точке нагрузка достигает максимума, и затем появляется сужение в ослабленном сечении образца – «шейка»;

– в точке – образец разрушается.

Рис. 2.3 Диаграммы разрушения стали при растяжении и сжатии

Диаграммы позволяют получить следующие основные механические характеристики стали:

– предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука (2100…2200 кгс/см 2 или 210…220 МПа);

– предел упругости – наибольшее напряжение, при котором деформации еще остаются упругими (2300 кгс/см 2 или 230 МПа);

– предел текучести – напряжение, при котором деформации растут без увеличения нагрузки (2400 кгс/см 2 или 240 МПа);

– предел прочности – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом за время опыта (3800…4700 кгс/см 2 или 380…470 МПа);