В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и круче­ния (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные на­пряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих случаях возникают на поверхности. Расчет следует вести по теории проч­ности, заменяя сложное напряженное состояние равноопасным про­стым.

Максимальное напряжение кручения в сечении

Максимальное напряжение изгиба в сечении

По одной из теорий прочности в зависимости от материала бруса рассчитывают эквивалентное напряжение для опасного сечения и проверяют брус на прочность, используя допускаемое напряжение изгиба для материала бруса.

Для круглого бруса моменты сопротивления сечения следую­щие:

При расчете по третьей теории прочности, теории максималь­ных касательных напряжений, эквивалентное напряжение рассчи­тывается по формуле

Теория применима для пластичных материалов.

При расчете по теории энергии формоизменения эквивалентное напряжение рассчитывается по формуле

Теория применима для пластичных и хрупких материалов.

теории максималь­ных касательных напряжений:

Эквивалентное напряжение при расчете по теории энергии формоизменения:

где - эквивалентный момент.

Условие прочности

Примеры решения задач

Пример 1. Для заданного напряженного состояния (рис. 34.4), пользуясь гипотезой максимальных касательных напряжений, вычислить ко­эффициент запаса прочности, если σ Т = 360 Н/мм 2 .

Контрольные вопросы и задания

1. Чем характеризуется и как изображается напряженное состо­яние в точке?

2. Какие площадки и какие напряжения называют главными?

3. Перечислите виды напряженных состояний.

4. Чем характеризуется деформированное состояние в точке?

5. В каких случаях возникают предельные напряженные состо­яния у пластичных и хрупких материалов?

6. Что такое эквивалентное напряжение?

7. Поясните назначение теорий прочности.

8. Напишите формулы для расчета эквивалентных напряжений при расчетах по теории максимальных касательных напряжений и теории энергии формоизменения. Поясните, как ими пользоваться.

ЛЕКЦИЯ 35

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Знать формулы для эквивалентных напряжений по гипотезам наибольших касательных напряжений и энергии формоизменения.

Уметь рассчитывать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым. Если наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях бруса возникают и поперечные силы, то изгиб называется поперечным.

Предполагается, что изгибающий момент и поперечная сила лежат в одной из главных плоскостей бруса (примем, что эта плоскость ZOY). Такой изгиб называется плоским.

Во всех рассматриваемых ниже случаях имеет место плоский поперечный изгиб балок.

Для расчета балки на прочность или жесткость необходимо знать внутренние силовые факторы, возникающие в ее сечениях. С этой целью строятся эпюры поперечных сил (эпюра Q) и изгибающих моментов (М).

При изгибе прямолинейная ось бруса искривляется, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Для определенности при построении эпюр поперечных сил изгибающих моментов установим для них правила знаков. Примем, что изгибающий момент будет считаться положительным, если элемент бруса изгибается выпуклостью вниз, т.е. таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней части.

Если момент изгибает брус выпуклостью вверх, то этот момент будет считаться отрицательным.

Положительные значения изгибающих моментов при построении эпюры откладываются, как обычно в направлении оси У, что соответствует построению эпюры на сжатом волокне.

Поэтому правило знаков для эпюры изгибающих моментов можно сформулировать следующим образом: ординаты моментов откладываются со стороны слоев бруса.

Изгибающий момент в сечении равен сумме моментов относительно этого сечения всех сил, расположенных по одну стороны (любую) от сечения.

Для определения поперечных сил (Q) установим правило знаков: поперечная сила считается положительной, если внешняя сила стремиться повернуть отсеченную часть балки по час. стрелке относительно точки оси, которая соответствует проведенному сечению.

Поперечная сила (Q) в произвольном поперечном сечении бруса численно равна сумме проекций на ось ОУ внешних сил, приложенных к его осеченной части.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр поперечных сил изгибающих моментов. Все силы перпендикулярны оси балок, поэтому горизонтальная составляющая реакции равна нулю. Деформированная ось балки и силы лежат в главной плоскости ZOY.

Балка длиной защемлена левым концом и нагружена сосредоточенной силой F и моментом m=2F.

Построим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М из.

В нашем случае на балку с правой стороны не наложено связей. Поэтому чтобы не определять опорные реакции, целесообразно рассматривать равновесие правой отсеченной части балка. Заданная балка имеет два участка нагружения. Границы участков-сечения, в которых приложены внешние силы. 1 участок - СВ,2 - ВА.

Проводим произвольное сечение на участке 1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиною Z 1 .

Из условия равновесия следует:

Q=F ; М из = -FZ 1 ()

Поперечная сила положительна, т.к. внешняя сила F стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке. Момент изгибающий считается отрицательным, т.к. он изгибает рассматриваемую часть балки выпуклостью вверх.

При составлении уравнений равновесия мысленно закрепляем место сечения; из уравнений () следует, что поперечная сила на I участке от Z 1 не зависит и является постоянной величиной. Положительную силу Q=F откладываем в масштабе вверх от осевой линии балки, перпендикулярно к ней.

Изгибающий момент зависит от Z 1 .

При Z 1 =O М из =O приZ 1 = М из =

Полученное значение () откладываем вниз, т.е. эпюра М из строится на сжатом волокне.

Переходим ко второму участку

Рассекаем участок II на произвольном расстоянии Z 2 от свободного правого торца балки и рассматриваем равновесие отсеченной части длиною Z 2 . Изменение поперечной силы и изгибающего момента на основе условий равновесия можно выразить следующими уравнениями:

Q=FM из = - FZ 2 +2F

Величина и знак поперечной силы не изменились.

Величина изгибающего момента зависит от Z 2 .

ПриZ 2 = M из =, приZ 2 =

Изгибающий момент получился положительным, как в начале участка II, так и в конце его. На участке II балка изгибается выпуклостью вниз.

Откладываем в масштабе величины моментов вверх по осевой линии балки (т.е. эпюра строится на сжатом волокне). Наибольший изгибающий момент возникает в сечении, где приложен внешний момент m и по абсолютной величине равен

Заметим, что на длине балки, где Q сохраняет постоянную величину, изгибающий момент М из меняется линейно и представляется на эпюре наклонными прямыми. Из эпюр Q и М из видно, что в сечении, где приложена внешняя поперечная сила, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М из - излом. В сечении, где приложен внешний изгибающий момент, эпюра Миз имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается. Из эпюры М из видим, что

max М из =

следовательно, опасное сечение предельно приближено с левой стороны к т.

Для балки изображенной на рис.13,а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. На длине балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q(КН/см).

На опоре А (шарнир неподвижный) возникнет вертикальная реакция R a (горизонтальная реакция равна нулю), а на опоре В (подвижный шарнир) возникает вертикальная реакция R в.

Определим вертикальные реакции опор, составляя уравнение моментов относительно опор А и В.

Проверим правильность определения реакции:

т.е. опорные реакции определены правильно.

Заданная балка имеет два участка нагружения: I участок - АС.

II участок - СВ.

На первом участке a, в текущем сечении Z 1 из условия равновесия отсеченной части имеем

Уравнение изгибающих моментов на 1 участке балки:

Момент от реакции R a изгибает балку на участке 1, выпуклостью вниз, поэтому изгибающий момент от реакции Ra вводится в уравнение со знаком плюс. Нагрузка qZ 1 изгибает балку выпуклостью вверх, поэтому момент от нее вводится в уравнение со знаком минус. Изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы.

Поэтому, необходимо выяснить имеет ли место экстремум. Между поперечной силой Q и изгибающим моментом существует дифференциальная зависимость на анализе которой мы остановимся далее

Как известно, функция имеет экстремум там, где производная равна нулю. Следовательно, чтобы определить при каком значении Z 1 , изгибающий момент будет экстремальным, надо уравнение поперечной силы приравнять к нулю.

Так как поперечная сила меняет в данном сечении знак с плюса на минус, то изгибающий момент в этом сечении будет максимальным. Если Q меняет знак с минуса на плюс, то изгибающий момент в этом сечении будет минимальным.

Итак, изгибающий момент при

является максимальным.

Поэтому, строим параболу по трем точкам

При Z 1 =0 М из =0

Рассекаем второй участок на расстоянии Z 2 от опоры В. Из условия равновесия правой отсеченной части балки имеем:

При величина Q=const,

изгибающий момент будет:

при, при, т.е. M ИЗ

меняется по линейному закону.

Балка на двух опорах, имеющая пролет равный 2 и левую консоль длиною, нагружена так, как показано на рис.14,а., где q(Кн/см) - погонная нагрузка. Опора А-шарнирно неподвижна, опора В - подвижный каток. Построить эпюры Q и М из.

Решение задачи следует начинать с определения реакций опор. Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось Z следует, что горизонтальная составляющая реакции на опоре А равна 0.

Для проверки используем уравнение

Уравнение равновесия удовлетворяются, следовательно, реакции вычислены правильно. Переходим к определению внутренних силовых факторов. Заданная балка имеет три участка нагружения:

• 1 участок - СА,
• 2 участок - АД,
• 3 участок - ДВ.

Рассечем 1 участок на расстояние Z 1 от левого торца балки.

при Z 1 =0 Q=0 М ИЗ =0

при Z 1 = Q= -q М ИЗ =

Таким образом, на эпюре поперечных сил получается наклонная прямая, а на эпюре изгибающих моментов - парабола, вершина которой находится на левом конце балки.

На участке II (a Z 2 2a) для определения внутренних силовых факторов рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки длиною Z 2 . Из условия равновесия имеем:

Поперечная сила на этом участке постоянна.

На участке III()

Из эпюры видим, что наибольший изгибающий момент возникает в сечении под силой F и равен. Это сечение будет самым опасным.

На эпюре М из имеется скачок на опоре В, равный внешнему моменту, приложенному в данном сечении.

Рассматривая построенные выше эпюры, нетрудно подметить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Докажем это.

Производная от поперечной силы по длине бруса равняется по модулю интенсивности нагрузки.

Отбрасывая величину высшего порядка малости получим:

т.е. поперечная сила является производной от изгибающего момента по длине бруса.

Учитывая полученные дифференциальные зависимости можно сделать общие выводы. Если брус нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q=const, очевидно, функция Q будет линейной, а М из - квадратичной.

Если брус нагружен сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения интенсивность q=0. Следовательно, Q=const, а М из является линейной функцией Z. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра Q претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М из возникает соответствующий излом (разрыв в производной).

В месте приложения внешнего изгибающего момента наблюдается разрыв в эпюре моментов, равный по величине приложенному моменту.

Если Q>0, то М из растет, а если Q<0, то М из убывает.

Дифференциальные зависимости используются для проверки уравнений составленных для построения эпюр Q и М из, а также для уточнения вида этих эпюр.

Изгибающий момент меняется по закону параболы, выпуклость которой всегда направлена навстречу внешней нагрузки.

Такое сочетание внутренних силовых факторов характерно при расчете валов. Задача является плоской, поскольку понятие «косой изгиб» для бруса круглого поперечного сечения, у которого любая центральная ось является главной- неприменимо. В общем случае действия внешних сил такой брус ис-пытывает сочетание следующих видов деформации: прямого поперечного изгиба, кручения и центрального растяжения (сжатия). На рис. 11.5 показан брус, нагруженный внешними силами, вызывающими все четыре вида дефор-мации.

Эпюры внутренних усилий позволяют выявить опасные сечения, а эпюры напряжений – опасные точки в этих сечениях. Касательные напряжения от поперечных сил достигают своего максимума на оси бруса и незначительны для бруса сплошного сечения и ими можно пренебречь, по сравнению с касательными напряжениями от кручения, достигающих своего максимума в периферийных точках (точка В).

Опасным является сечение в заделке, где одновременно имеют большое значение продольная и поперечная силы, изгибающий и крутящий моменты.

Опасной точкой в этом сечении, будет точка, где σ х и τ ху достигают значитель-ной величины (точка В). В этой точке действует наибольшее нормальное на-пряжение от изгиба и касательное напряжение от кручения, а также нормальное напряжение от растяжения

Определив главные напряжения по формуле:

находим σ red =

(при использовании критерия наибольших касательных напряжений m = 4, при использовании критерия удельной энергии изменения формы m = 3).

Подставив выражения σ α и τ ху, получаем:

или с учётом того, что W р =2 W z , A= (см. 10.4),

В случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то в формулу вместо М z надо подставить M tot =

Приведенное напряжение σ red не должно превышать допускаемого напряжения σ adm , определённого при испытаниях при линейном напряжённом состоянии с учётом коэффициента запаса прочности. При заданных размерах и допускаемых напряжениях выполняют поверочный расчёт, Размеры необхо-димые для обеспечения безопасной прочности находят из условия

11.5. Расчёт безмоментных оболочек вращения

В технике широко применяются элементы конструкций, которые с точки зрения расчета на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболо-чкам. Принято считать оболочку тонкой, если отношение ее толщины к габа-ритному размеру меньше 1/20. Для тонких оболочек применима гипотеза пря-мых нормалей: отрезки нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми после деформирования. В этом случае имеет место линейное распределение деформаций, а следовательно и нормальных напряжений (при малых упругих деформациях) по толщине оболочки.

Поверхность оболочки получают вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой. Если кривую заменить прямой линией, то при вращении ее параллельно оси получается круговая цилиндрическая оболочка, а при вращении под углом к оси - коническая.

В расчетных схемах оболочку представляют ее срединной поверхностью (равноудаленной от лицевых). Срединную поверхность обычно связывают с криволинейной ортогональной системой координаты Ө и φ. Углом θ () определяется положение параллели линии пересечения середин-ной поверхности с плоскостью, проходящей нормально к оси вращения.

Рис.11.6 Рис. 11.7

Через нормаль с серединой поверхности можно провести множество пло-скостей, которые будут нормальны к ней и в сечениях с ней образовывать ли-нии с разными радиусами кривизны. Два из этих радиусов имеют экстремаль-ное значения. Линии, которым они соответствуют, называются линиями главных кривизн. Одна из линий является меридианом, её радиус кривизны обозначим r 1 . Радиус кривизны второй кривой – r 2 (центр кривизны лежит на оси вращения). Центры радиусов r 1 и r 2 могут совпадать (сферическая оболоч-ка), лежать по одну или по разные стороны срединной поверхности, один из центров может уходить в бесконечность (цилиндрическая и коническая оболоч-ки).

При составлении основных уравнений усилия и перемещения относим к нормальным сечениям оболочки в плоскостях главных кривизн. Составим ура-внения для внутренних усилий. Рассмотрим бесконечно малый элемент оболо-чки (рис. 11.6), вырезанный двумя смежными меридиональными плоскостями (с углами θ и θ+dθ) и двумя смежными параллельными кругами, нормальными к оси вращения (с углами φ и φ+dφ). В качестве системы осей проекций и моментов избираем прямоугольную систему осей x , y , z . Ось y направлена по касательной к меридиану, ось z – по нормали.

В силу осевой симметрии (нагрузка P=0) на элемент будут действовать только нормальные усилия. N φ - погонное меридиональное усилие, направлен-ное по касательной к меридиану: N θ - погонное кольцевое усилие, направлен-ное по касательной к окружности. Уравнение ΣХ=0 обращается в тождество. Спроектируем все силы на ось z :

2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.

Если пренебречь бесконечно малой величиной высшего порядка ()r o dθ dφ и разделить уравнение на r 1 r o dφ dθ, то принимая во внима-ние, что получим уравнение, принадлежащее П. Лапласу:

Вместо уравнения ΣY=0 для рассматриваемого элемента составим урав-нение равновесия верхней части оболочки (рис. 11.6). Спроектируем все силы на ось вращения:

uде: R v - вертикальная проекция равнодействующей внешних сил, приложенных к отрезанной части оболочки. Итак,

Подставив значения N φ в уравнение Лапласа, найдём N θ . Определение усилий в оболочке вращения по безмоментной теории представляет собой статически определимую задачу. Это стало возможным в результате того, что мы сразу постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки – считали их постоянными.

В случае сферического купола имеем r 1 = r 2 = r и r о = r. Если нагрузка задана в виде интенсивности P на горизонтальную проекцию оболочки, то

Таким образом, в меридиональном направлении купол равномерно сжат. Составляющие поверхностной нагрузки вдоль нормали z равна P z =P. Подставляем значения N φ и P z в уравнение Лапласа и находим из него:

Кольцевые сжимающие усилия достигают максимума в вершине купола при φ = 0. При φ = 45 º - ­­N θ =0; при φ > 45- N θ =0 становится растягивающим и достигает максимума при φ = 90.

Горизонтальная составляющая меридионального усилия равна:

Рассмотрим пример расчёта безмоментной оболочки. Магистральный трубопровод заполнен газом, давление которого равно Р .

Здесь r 1 =R, r 2 = а в соответствии с ранее принятым допущением, что напряжения распределяются равномерно по толще δ оболочки

где: σ m - нормальные меридиональные напряжения, а

σ t - окружные (широтные, кольцевые) нормальные напряжения.

Пространственный (сложный) изгиб

Пространственным изгибом называется такой вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса действуют только изгибающие моменты и. Полный изгибающий момент при этом действует ни в одной из главных плоскостей инерции. Продольная сила отсутствует. Пространственный или сложный изгиб часто называют неплоским изгибом, так как изогнутая ось стержня не является плоской кривой. Такой изгиб вызывается силами, действующими в разных плоскостях перпендикулярно оси балки (Рис. 1.2.1).

Рис.1.2.1

Следуя порядку решения задач при сложном сопротивлении, изложенному выше, раскладываем пространственную систему сил, представленную на рис. 1.2.1, на две такие, чтобы каждая из них действовала в одной из главных плоскостей. В результате получаем два плоских поперечных изгиба - в вертикальной и горизонтальной плоскости. Из четырех внутренних силовых факторов, которые при этом возникают в поперечном сечении балки, будем учитывать влияние только изгибающих моментов. Строим эпюры, вызванных соответственно силами (Рис. 1.2.1).

Анализируя эпюры изгибающих моментов, приходим к выводу, что опасным является сечение А, так как именно в этом сечении возникают наибольшие по величине изгибающие моменты и. Теперь необходимо установить опасные точки сечения А. Для этого построим нулевую линию. Уравнение нулевой линии с учетом правила знаков для членов, входящих в это уравнение, имеет вид:

Здесь принят знак “” возле второго члена уравнения, так как напряжения в первой четверти, вызванные моментом, будут отрицательными.

Определим угол наклона нулевой линии с положительным направлением оси (Рис.12.6):

Рис. 1.2.2

Из уравнения (8) следует, что нулевая линия при пространственном изгибе является прямой линией и проходит через центр тяжести сечения.

Из рис. 1.2.2 видно, что наибольшие напряжения возникнут в наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения №2 и №4. По величине нормальные напряжения в этих точках будут одинаковыми, но по знаку отличаются: в точке №4 напряжения будут положительными, т.е. растягивающими, в точке №2 - отрицательными, т.е. сжимающими. Знаки этих напряжений были установлены из физических соображений.

Теперь, когда опасные точки установлены, вычислим максимальные напряжения в сечении А и проверим прочность балки с помощью выражения:

Условие прочности (10) позволяет не только выполнить проверку прочности балки, но и подобрать размеры ее поперечного сечения, если задано соотношение сторон поперечного сечения.